Основы матричных вычислений 2025/26

О курсе

Курс для студентов 2 курса в 3-4 модулях.

Лектор: Рахуба Максим Владимирович

Семинаристы:

Группа	Преподаватель	Учебные ассистенты	Чат в телеграм
1 (ИИ360)	Моложавенко Александр Александрович	Бондаренко А., Бабаян А.	чат
2	Моложавенко Александр Александрович	Митин А., Копнев М., Маркович А.	чат
3	Юдин Николай Евгеньевич	Маркович А., Трушкова Е., Кузнецов С.	чат
4	Юдин Николай Евгеньевич	Бабинский Г., Кузнецов С.	чат
5	Богачев Владимир Александрович	Бабинский Г., Король М.	чат
6	Кудряшов Сергей Андреевич, Юсупов Вячеслав Александрович	Король М., Колос М., Зинкин З.	чат
7	Медведь Никита Юрьевич	Зинкин З., Рутковский А.	чат
8	Медведь Никита Юрьевич	Бабаян А., Рутковский А.	чат

Полезные ссылки

Ведомость

Anytask

Телеграм-канал курса и Телеграм-чат курса

Папка с материалами

Обновляемый конспект лекций

Подготовленные билеты к коллоквиуму 2022-2023 от студентов (могут быть ошибки)

Итоговая оценка за курс

                 Итог = Округление(min(10, 0.15⋅ТДЗ + 0.15⋅ПДЗ + 0.1⋅БДЗ + 0.13⋅ОС + 0.27⋅К + 0.3⋅Э))

• ТДЗ – средняя оценка за теоретические домашние задания.
• ПДЗ – средняя оценка за практические домашние задания в Python.
• БДЗ – средняя оценка за бонусные задачи.
• ОС – средняя оценка за работу на семинарах.
• К – оценка за коллоквиум.
• Э – оценка за письменный экзамен, проводимый в конце 4-го модуля. Письменный экзамен блокирующий.

Округление арифметическое.

Важное: Экзамен является блокирующим. Автоматов не предусмотрено.

Домашние задания

На курсе предусмотрены теоретические домашние задания и практические домашние задания на языке Python. Выдаются каждые 1-3 недели. Обращаем ваше внимание, что сдача теоретических домашних заданий только на бумаге или планшете. Также, будет организована защита домашних работ. Подробнее правила сдачи описаны здесь.

Теоретическое ДЗ-1. [Условие]	Дедлайн: 11.02.2026 23:59 МСК
Практическое ДЗ-1. [Условие]	Дедлайн: 28.02.2026 23:59 МСК
Практическое ДЗ-2. [Условие]	Дедлайн: 11.03.2026 23:59 МСК
Теоретическое ДЗ-2. [Условие]	Дедлайн: 01.04.2026 23:59 МСК
Практическое ДЗ-3. [Условие]	Дедлайн: 16.04.2026 23:59 МСК
Теоретическое ДЗ-3. [Условие]	Дедлайн: 30.04.2026 23:59 МСК
Практическое ДЗ-4. [Условие]	Дедлайн: 13.05.2026 23:59 МСК
Теоретическое ДЗ-4. [Условие]	Дедлайн: 01.06.2026 23:59 МСК
Практическое ДЗ-5. [Условие]	Дедлайн: 15.06.2026 23:59 МСК

План курса

Если какие-то лекции не выложены или найдены ошибки на вики-странице — пишите сюда.

• Лекция 1. Основы матричного анализа. [Слайды], [Запись] Векторные и матричные нормы. Скалярное произведение и ортогональность. Разложение Шура.

• Лекция 2. Основы матричного анализа - 2. [Слайды], [Запись] Нормальные матрицы. Знакоопределённые матрицы. Сингулярное разложение (SVD). QR разложение.

• Лекция 3. Основы матричного анализа - 3. [Слайды], [Запись], [Ноутбук] QR разложение. Скелетное разложение. Проекторы.

• Лекция 4. Оптимизационные задачи, связанные с SVD - 1. [Слайды], [Запись]. Наилучшее приближение матрицей с заданным образом. Задача Прокруста и метод Ньютона-Шульца.

• Лекция 5. Оптимизационные задачи, связанные с SVD - 2. [Слайды], [Запись]. Неравенство фон Неймана для следа и регуляризатор в виде ядерной нормы. Alternating least squares (ALS). Матрично-векторное дифференцирование.

• Лекция 6. Тензорные разложения. [Слайды], [Запись]. Кронекерово произведение (КР) и задача о ближайшем KP. Каноническое тензорное разложение. Разложение Таккера. Higher-order SVD (HOSVD).

• Лекция 7. Псевдообратные матрицы и МНК. [Слайды], [Запись]. HOSVD. Псевдообратные Мура-Пенроуза. Методы регуляризации.

• Лекция 8. Алгоритмы для QR разложения. [Слайды], [Запись]. Отражения Хаусхолдера. Вращения Гивенса. RRQR

• Лекция 9. Матрица Фурье. Быстрое преобразование Фурье. Теорема о свертке. [Слайды], [Запись]

• Лекция 10. Умножение матриц, вычислительная устойчивость и обусловленность. [Слайды], [Запись]

• Лекция 11. Матричные ряды. Теория возмущений. [Слайды], [Запись]
• Лекция 12. LU разложение. LDL разложение, разложение Холецкого. [Слайды], [Запись]

• Лекция 13. Формула Шермана-Моррисона. Тождество Сильвестра. Разреженное LU (Cholesky) разложение. Метод простой итерации. [Слайды 1], [Слайды 2], [Запись]

• Лекция 14. Классические итерационные методы решения линейных систем. [Слайды], [Запись]

• Лекция 15. Подпространства Крылова и метод сопряженных градиентов (CG). [Слайды] [Запись]
• Лекция 16. Сходимость СG. Соотношение Арнольди, GMRES. [Слайды] [Запись]
• Лекция 17. Предобуславливание в CG. Задача на собственные значения. Степенной метод и его блочная версия. Обратная итерация со сдвигом. Итерация Рэлея. Метод Рэлея-Ритца. [Слайды] [Запись]
• Лекция 18. Методы Арнольди и Ланцоша. QR алгоритм. [Слайды] [Запись]
• Лекция 19. Теория возмущений для задачи на собственные значения. Теорема Леви-Диспланка. Теоремы Гершгорина. Теорема Бауэра-Файка. Обусловленность отдельного собственного значения. [Слайды] [Запись]

Литература

1) Е. Е. Тыртышников. Матричный анализ и линейная алгебра. Физматлит, 2007.

2) Тыртышников, Е. Е. (2007). Методы численного анализа. Академия, Москва.

3) Golub, G. H., & Van Loan, C. F. (2013). Matrix Computations 4th Edition. The Johns Hopkins University Press. Baltimore.

4) https://github.com/oseledets/nla2024.

5) Demmel, James W. Applied numerical linear algebra. Society for Industrial and Applied Mathematics, 1997.

6) Trefethen, L. N., & Bau III, D. (1997). Numerical linear algebra. (Vol. 50). Siam. Philadelphia.