https://www.wikicshse.ru/index.php?action=history&feed=atom&title=%D0%A1%D0%B8%D0%BC%D0%B2%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D0%B2%D1%8B%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8FСимвольные вычисления - История изменений2026-06-06T13:53:44ZИстория изменений этой страницы в викиMediaWiki 1.45.3https://www.wikicshse.ru/index.php?title=%D0%A1%D0%B8%D0%BC%D0%B2%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D0%B2%D1%8B%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F&diff=1629&oldid=previmported>Yuliazaitseva: + программа экзамена2021-03-27T17:06:43Z<p>+ программа экзамена</p>
<p><b>Новая страница</b></p><div>== О курсе ==<br />
<br />
Курс читается для студентов 4-го курса в 3 модуле.<br />
[https://drive.google.com/file/d/1i2nnSv2H8Twf2i7nUoXiqmAG9VjQHDMe/view?usp=sharing Описание курса]<br />
<br />
Лектор — [https://www.hse.ru/staff/arjantsev Аржанцев Иван Владимирович]<br />
<br />
Семинарист — [https://www.hse.ru/org/persons/304055991 Зайцева Юлия Ивановна]<br />
<br />
== Лекции ==<br />
Проходят по четвергам 16:20 – 17:40. <br />
<br />
[https://www.youtube.com/playlist?list=PLEwK9wdS5g0qtloahgT1uYfOYzlYC2F92 Видеозаписи на Youtube].<br />
<br />
[https://drive.google.com/file/d/18RPg5yuJeuEgc5NrdnCsKpoDmfqJkwH8/view?usp=sharing Лекция 1] (14.01.2021): Кольца и идеалы. Конечно порожденные идеалы и нётеровы кольца. Факторкольца. Конечно порожденные модули и подмодули. Теорема Гильберта о базисе. Мономиальный порядок на множестве мономов. Лемма Гордана. Старший член многочлена от многих переменных. Лемма о старшем члене.<br />
<br />
[https://drive.google.com/file/d/1Vhex5v9IgvntK4p91a0Ocp5_IMg4KJzv/view?usp=sharing Лекция 2] (21.01.2021): Алгоритм деления. Оператор редукции. Нормальная форма многочлена. Базис Грёбнера идеала. Критерий Бухбергера и алгоритм Бухбергера. Минимальный базис Грёбнера и его единственность. <br />
<br />
[https://drive.google.com/file/d/1_kM-mLE7tJ13j98JIdumPdlTeTZikyjE/view?usp=sharing Лекция 3] (28.01.2021): Универсальный базис Грёбнера и его существование. Алгебраическое подмножество. Алгебра регулярных функций. Аффинное алгебраическое многообразие.<br />
<br />
[https://drive.google.com/file/d/1B7U0ExAbSkX6QK0SlHdNG4T4dR36SpEN/view?usp=sharing Лекция 4] (04.02.2021): Радикал идеала. Радикальный идеал. Теорема Гильберта о нулях. Максимальный идеал. Слабая версия теоремы Гильберта о нулях. Доказательства и обобщение.<br />
<br />
[https://drive.google.com/file/d/1caWL6qWYPA6vqP20-AJDtYpwYirJcI1n/view?usp=sharing Лекция 5] (11.02.2021): Cooтветствие между максимальными идеалами и точками многообразия. Кольца Джекобсона. Морфизмы алгебраических многообразий. Изоморфизмы. Аффинные алгебры. Спектр алгебры. <br />
<br />
[https://drive.google.com/file/d/1p_ZfksDH5R3YxOtZyXRRDELhcmOt9i12/view?usp=sharing Лекция 6] (18.02.2021): Топологическое пространство. База топологии. Топология Зарисского. Главные открытые подмножества. Непрерывность морфизмов. Плотные подмножества и неприводимые пространства. Нетеровы топологические пространства. Неприводимые компоненты. Открытые, замкнутые и доминантные морфизмы. Замкнутые вложения.<br />
<br />
[https://drive.google.com/file/d/1XqsKSTFieYwc_2P8tmg52b0JAcgDEVCH/view?usp=sharing Лекция 7] (25.02.2021): Двенадцать задач на применение базисов Грёбнера в теории систем полиномиальной уравнений, аффинной алгебраической геометрии и коммутативной алгебре.<br />
<br />
[https://drive.google.com/file/d/1iU4BRUnP9K8dPrUCLy8Ak7_O7sv2xjVm/view?usp=sharing Лекция 8] (04.03.2021): Конечные поля. Простое подполе и порядок конечного поля. Автоморфизм Фробениуса. Теорема существования и единственности для конечных полей. Поле из четырех элементов. Цикличность мультипликативной группы. Неприводимые многочлены над конечным полем. Подполя конечного поля.<br />
<br />
[https://drive.google.com/file/d/11MenvgtNwWXMaVnqNQak9gjmwL3qn0-L/view?usp=sharing Лекция 9] (11.03.2021): Неприводимые многочлены над конечными полями. Функция Мёбиуса и ее свойства. Аддитивная формула Мебиуса и явная формула для числа неприводмых многочленов данной степени над конечным полем. Примеры. Существование не менее одного неприводимого многочлена данной степени. Мультипликативная формула Мёбиуса и произведение неприводимых многочленов данной степени.<br />
<br />
[https://drive.google.com/file/d/1K2AFNkh1-KbWswetJMpYbNtwxHItSDtJ/view?usp=sharing Лекция 10] (18.03.2021): Задача о разложении многочлена на неприводимые множители. Избавление от кратных множителей. f-разлагающие многочлены. Сведение к системе линейных уравнений: алгоритм Берлекэмпа.<br />
<br />
[https://drive.google.com/file/d/1Xem73L7pUWIWGMYDp9VojuDj_o8ms0Mb/view?usp=sharing Лекция 11] (25.03.2021): Основная задача теории кодирования. Расстояние Хэмминга. Коды, исправляющие ошибки. Характеристики кода. Неравенство Синглтона. Совершенные коды. Линейные коды. Вес Хэмминга. Код Хэмминга [7,4,3]_2. Коды Рида-Соломона. Циклические коды и главные идеалы. Коды Голея и БЧХ-коды. Алгоритм декодирования по лидеру смежного класса. <br />
<br />
== Семинары ==<br />
Проходят по субботам 16:20 – 17:40.<br />
<br />
Чат в телеграм: https://t.me/joinchat/Gmd6rwAy23c7knoe<br />
<br />
Семинар 1 (16.01.2021): Многочлены от одной переменной: алгоритм деления, идеалы, наибольший общий делитель, проверка принадлежности идеалу. Примеры для случая многих переменных. <br />
<br />
Семинар 2 (23.01.2021): Лемма Гордана. Алгоритм деления многочленов от нескольких переменных. Идеал старших членов идеала. Доказательство теоремы Гильберта о базисе через лемму Гордана. <br />
<br />
Семинар 3 (30.01.2021): Критерий Бухбергера. Алгоритм Бухбергера, построение базиса Грёбнера и редуцированного базиса Грёбнера. Равенство идеалов. Связь с методом Гаусса. Простые вычисления в системе компьютерной алгебры Sage. <br />
<br />
Семинар 4 (06.02.2021): Алгебраические и неалгебраические подмножества. Алгебра регулярных функций. Множество нулей идеала, радикал идеала, теорема Гильберта о нулях. <br />
<br />
Семинар 5 (13.02.2021): Изоморфизмы алгебраических подмножеств. Морфизмы многообразий и соответствующие им гомоморфизмы колец функций. <br />
<br />
Семинар 6 (20.02.2021): Неизоморфность прямой и кривой {x²=y³}. Топология Зарисского, отличие топологии на A² и топологии на прямом произведении A¹×A¹.<br />
<br />
Семинар 7 (27.02.2021): Примеры применения базисов Грёбнера для решения систем полиномиальных уравнений и поиска замыкания образа морфизмов. <br />
<br />
Семинар 8 (06.03.2021): Вычисления в факторкольцах и конечных полях, разные задачи. <br />
<br />
Семинар 9 (13.03.2021): Неприводимость над Q и Z, признак Эйзенштейна, признак Дюма. Неприводимость x^p-x-a над Z_p. <br />
<br />
Семинар 10 (20.03.2021): Алгоритм Берлекэмпа. Разные задачи про приводимость и неприводимость. <br />
<br />
== Контрольные мероприятия ==<br />
=== Домашние задания ===<br />
<br />
Домашнее задание 1 доступно по [https://drive.google.com/file/d/1VupYbAJG6fJdiU98-nZBeFpyYT7lKOz0/view?usp=sharing ссылке], сдавать до 23:59 4 марта 2021 года. <br />
<br />
Домашнее задание 2 доступно по [https://drive.google.com/file/d/1GI_vV042jXtv0GNv0qYVR7twBnZe0Ayy/view?usp=sharing ссылке], сдавать до 23:59 25 марта 2021 года. <br />
<br />
=== Контрольная работа ===<br />
<br />
Состоится 27 марта в 16:20 в Zoom.<br />
<br />
=== Экзамен ===<br />
Экзамен проводится в устной форме. [https://drive.google.com/file/d/1bcXTDE41jJqM7omZkdDX6I3hVMMSXZcA/view?usp=sharing Программа экзамена]<br />
<br />
=== Правила выставления оценок ===<br />
<br />
Итоговая оценка вычисляется по формуле<br />
<br />
::Округление(0.15*ДЗ1 + 0.15*ДЗ2 + 0.3*КР + 0.4*ЭК),<br />
<br />
где ДЗ1 – оценка за домашнее задание № 1, ДЗ2 – оценка за домашнее задание № 2,<br />
КР – оценка за контрольную работу и ЭК – оценка за устный экзамен. <br />
<br />
Округление арифметическое. <br />
<br />
Блокирующих элементов контроля в курсе нет. Автоматы не выставляются. <br />
<br />
== Список литературы ==<br />
'''Рекомендуемая основная литература:'''<br />
<br />
[1] Дж.Дэвенпорт, И.Сирэ и Э.Турнье. Компьютерная алгебра. Системы и алгоритмы алгебраических вычислений. М.: Мир, 1991 <br />
<br />
[2] Д.Кокс, Дж.Литтл, Д.О’Ши. Идеалы, многообразия и алгоритмы. Введение в вычислительные аспекты алгебраической геометрии и коммутативной алгебры. М.: Мир, 2000<br />
<br />
[3] V.Ene and J.Herzog. Groebner Bases in Commutative Algebra. Graduated Studies in Mathematics 130, American Mathematical Society, Providence, RI, 2011<br />
<br />
'''Рекомендуемая дополнительная литература:'''<br />
<br />
[1] А.Акритас. Основы компьютерной алгебры с приложениями. М.: Мир, 1994<br />
<br />
[2] Введение в криптографию. Под редакцией В.В.Ященко. М.: МЦНМО, 2012<br />
<br />
[3] Э.Б. Винберг. Курс алгебры (4-е издание). М.: МЦНМО, 2019<br />
<br />
[4] С.Г.Влэдуц, Д.Ю.Ногин и М.А.Цфасман. Алгеброгеометрические коды. М.: МЦНМО, 2003<br />
<br />
[5] Н.Коблиц. Курс теории чисел и криптографии. М.; ТВП, 2001<br />
<br />
[6] А.Ромащенко, А.Руменцев и А.Шень. Заметки по теории кодирования (2-е издание). М.: МЦНМО, 2017<br />
<br />
[7] Сборник задач по алгебре под редакцией А.И. Кострикина. Новое<br />
издание. М.: МЦНМО, 2009<br />
<br />
[8] T.Becker, H.Kredel, V.Weispfenning. Groebner Bases: A Computational Approach to Commutative Algebra. Graduate Texts in Mathematics, Springer, 1993<br />
<br />
[9] D.Cox, J.Little, D.O'Shea. Using Algebraic Geometry. 2nd Edition. <br />
Graduate Texts in Mathematics, vol. 185, Springer, 2005<br />
<br />
[10] B.Sturmfels. Groebner Bases and Convex Polytopes. University Lecture Series, vol. 8, American Mathematical Society, Providence, RI, 1996</div>imported>Yuliazaitseva