imported>Ravdeev: /* Контрольная работа */

2025-05-21T14:45:22Z

Контрольная работа

Новая страница

Telegram-канал: [https://t.me/Alg_AMI_23_24_osn https://t.me/Alg_AMI_23_24_osn]

= Преподаватели и учебные ассистенты =

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! Группа !! БПМИ235 !! БПМИ236 !! БПМИ237 !! БПМИ238 !! БПМИ239 !! БПМИ2310 !! БПМИ2311 !! БПМИ2312
|-
|| Лектор ||colspan="8"| [https://t.me/newsuslik Роман Авдеев]
|-
|| Семинарист || [https://t.me/newsuslik Роман Авдеев] || [https://t.me/i_mihanya Михаил Игнатьев] || [https://t.me/theromestasenko Роман Стасенко] || [https://t.me/ton_insomnia Алина Никитина] || [https://t.me/the_Man_of_Spade Виктор Лопаткин] || colspan="2"| [https://t.me/Anton122333 Антон Шафаревич] || [https://t.me/sgayf Сергей Гайфуллин]
|-
|| Ассистент || [https://t.me/chervovn04 Никита Червов] || [https://t.me/Komershan Александр Деревягин] || [https://t.me/arisharomashkina Арина Ромашкина] || [https://t.me/musix3000 Амина Каракотова] || [https://t.me/Alexxxey5 Алексей Воронко] || [https://t.me/Mathew_K Матвей Кривда] || [https://t.me/on1kova Дарья Оникова] || [https://t.me/TigodanAC Данила Окунев]
|}

= Порядок формирования оценок =

Итоговая оценка вычисляется следующим образом:

Oитоговая = 0,33 * Одз + 0,22*Ок/р + 0,45*Оэкз.

Округление производится только для итоговой оценки. Способ округления — арифметический.

= Краткое содержание лекций =

'''Лекция 1''' (3.04.2024). Бинарные операции. Полугруппы, моноиды, группы, коммутативные (абелевы) группы. Порядок группы. Примеры групп. Подгруппы. Описание всех подгрупп в группе целых чисел по сложению. Циклические подгруппы. Циклические группы. Порядок элемента группы. Связь между порядком элемента и порядком порождаемой им циклической подгруппы.

'''Лекция 2''' (5.04.2024). Левые (правые) смежные классы группы по подгруппе, разбиение группы на левые (правые) смежные классы. Индекс подгруппы, теорема Лагранжа. Пять следствий из теоремы Лагранжа. Нормальные подгруппы.

'''Лекция 3''' (10.04.2024). Факторгруппа группы по нормальной подгруппе. Гомоморфизмы групп, примеры, простейшие свойства. Изоморфизм групп, изоморфные группы. Ядро и образ гомоморфизма групп, их свойства. Теорема о гомоморфизме для групп. Примеры.

'''Лекция 4''' (17.04.2024). Классификация циклических групп с точностью до изоморфизма. Прямое произведение групп и разложение группы в прямое произведение подгрупп. Разложение конечной циклической группы. Примарные абелевы группы. Теорема о разложении конечной абелевой группы в прямое произведение примарных циклических групп (формулировка). Экспонента конечной абелевой группы, критерий цикличности.

[https://drive.google.com/file/d/1VL0CJjjWL0IGTu1v0BS9o2cBAati7bm3/view?usp=drive_link '''Конспект, включающий в себя материал лекций про группы''']

'''Лекция 5''' (19.04.2024). Завершение доказательства критерия цикличности. Понятие кольца, примеры. Коммутативные кольца. Обратимые элементы, делители нуля, нильпотенты. Поля. Критерий того, что кольцо вычетов является полем. Подкольца, подполя. Идеалы в кольце.

'''Лекция 6''' (24.04.2024). Главные идеалы и идеалы, порождаемые подмножеством коммутативного кольца. Факторкольцо кольца по идеалу. Гомоморфизмы, изоморфизмы колец. Ядро и образ гомоморфизма колец. Теорема о гомоморфизме для колец. Кольцо K[x] многочленов от одной переменной над полем. Деление с остатком в кольце K[x].

'''Лекция 7''' (26.04.2024). Наибольший общий делитель двух многочленов, теорема о его существовании и линейном выражении. Неприводимые многочлены. Факториальность кольца K[x]. Теорема о том, что K[x] является кольцом главных идеалов. Факторкольцо K[x]/(h).

[https://drive.google.com/file/d/1oT7Fblwty6ztLs96bMqZCcRC8VfJk6VL/view?usp=drive_link '''Конспект, включающий в себя материал лекций про кольца''']

'''Лекция 8''' (10.05.2024). Базис и размерность факторкольца K[x]/(h) как векторного пространства над полем K. Критерий того, что факторкольцо K[x]/(h) является полем. Присоединение корня неприводимого многочлена. Лексикографический порядок на одночленах от нескольких переменных. Лемма о конечности убывающих цепочек одночленов. Старший член ненулевого многочлена. Лемма о старшем члене. Элементарная редукция многочлена относительно ненулевого многочлена. Нередуцируемые многочлены.

'''Лекция 9''' (15.05.2024). Лемма о конечности цепочек элементарных редукций. Остаток многочлена относительно заданной системы многочленов. Системы Грёбнера. Характеризация систем Грёбнера в терминах цепочек элементарных редукций. S-многочлены. Критерий Бухбергера.

'''Лекция 10''' (17.05.2024). Базис Грёбнера идеала, теорема о трёх эквивалентных условиях. Решение задачи вхождения многочлена в идеал. Лемма о конечности цепочек одночленов, в которых каждый следующий одночлен не делится ни на один из предыдущих. Теорема Гильберта о базисе идеала. Алгоритм Бухбергера построения базиса Грёбнера идеала. Редуцируемость к нулю S-многочлена двух многочленов с взаимно простыми старшими членами.

[https://drive.google.com/file/d/16ux7P9zxAf0WIHXS7sSqjpeLmMBxcBi5/view?usp=drive_link '''Конспект, включающий в себя материал лекций про базисы Грёбнера''']

'''Лекция 11''' (22.05.2024). Поля. Характеристика поля. Расширение полей, его степень. Степень композиции двух расширений. Присоединение корня неприводимого многочлена. Существование конечного расширения исходного поля, в котором заданный многочлен (а) имеет корень; (б) разлагается на линейные множители. Алгебраические и трансцендентные элементы. Минимальный многочлен алгебраического элемента и его свойства. Поле, порождённое алгебраическим элементом.

'''Лекция 12''' (24.05.2024). Порядок конечного поля. Общая конструкция конечных полей. Поле из четырёх элементов. Автоморфизм Фробениуса. Существование конечного поля, порядок которого — степень простого числа. Цикличность мультипликативной группы конечного поля. Реализация конечного поля как факторкольца кольца многочленов над полем вычетов.

[https://drive.google.com/file/d/1OGGFWzvEj_bWAhUxWngWYp1bmV10f2f6/view?usp=drive_link '''Конспект, включающий в себя материал лекций про поля''']

'''Лекция 13''' (5.06.2024). Единственность конечного поля заданного порядка. Описание подполей конечного поля. Коды над конечным алфавитом. Расстояние Хэмминга. Коды, исправляющие t ошибок. Минимальное расстояние кода. Теорема о связи минимального расстояния кода с числом ошибок, которые он может исправлять.

'''Лекция 14''' (7.06.2024). Линейные коды. Проверочная матрица. Связь минимального расстояния линейного кода с его проверочной матрицей. Бинарный код Хэмминга, его минимальное расстояние и число ошибок, которые он может исправлять. Неравенство Синглтона. Код Рида–Соломона и его минимальное расстояние. Элементы криптографии с открытым ключом. Задача дискретного логарифмирования. Протокол Диффи–Хеллмана обмена ключами. Криптосистема Эль-Гамаля.

= Листки с задачами =

[https://drive.google.com/file/d/1YCLJIUliE84EYnLaDtP0AhKjB5TlEJBM/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 1''']

[https://drive.google.com/file/d/17CUG5cBYMrm7-gCnG1nyS8N-K3sLEPvj/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 2''']

[https://drive.google.com/file/d/1xJeL1sTC6-E8vJt0Iiw2pgx5F-Pq0gHy/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 3''']

[https://drive.google.com/file/d/1Rw8Z1WUMrzJRhGR25HJ1VFCqjug4ECSy/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 4''']

[https://drive.google.com/file/d/1loNchkcYVibcqQvGN-GwN0IohVg-iFzA/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 5''']

[https://drive.google.com/file/d/1gECO5bqbtCedPuzQPMgPhTnJwe0vLxuA/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 6''']

[https://drive.google.com/file/d/1bH27SkGCXedDTEEV8f86WA2vcXbI4Y0d/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 7''']

[https://drive.google.com/file/d/1KY9HLYChgLB3fXYR2w95HXVjch5zjjBc/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 8''']

[https://drive.google.com/file/d/1344KipJdFuYZ2F3FY1oQLaxxHUWkfX3X/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 9''']

[https://drive.google.com/file/d/1LCs8L5TXAoyUGjL2BECms9Zj0mdspPhI/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 10''']

[https://drive.google.com/file/d/1s00JdFgqeYhVsdhO906N_8OzYEXqYF9f/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 11''']

[https://drive.google.com/file/d/18wCHKA8PGi1_iu4cubcKIE5WHKS8noNV/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 12''']

[https://drive.google.com/file/d/1wqBKuQo-_jIM9J8ohnnlHWhEAvzT0mXs/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 13''']

[https://drive.google.com/file/d/1UPbl9KWCOSPFRhULM7MWJK2E-RUUeyQT/view?usp=drive_link '''Задачи к лекции 14''']

= Домашние задания =

[https://drive.google.com/file/d/1iZ97FmYESBeuyLOMFzMGfT8ucdDq-bsq/view?usp=drive_link '''ДЗ-1''']

[https://drive.google.com/file/d/1fU-Z4Z-o-OeFfyt2OEdQeEJr4QsLFNL0/view?usp=drive_link '''ДЗ-2''']

[https://drive.google.com/file/d/1IhSePlVFSVH7Jcb5N_0lvZq-tNUSCeJ5/view?usp=drive_link '''ДЗ-3''']

[https://drive.google.com/file/d/1jsp331-D_6-c-AFGjo_tI7CsRRpLCaS8/view?usp=drive_link '''ДЗ-4''']

[https://drive.google.com/file/d/16VKxYRY8u01JafdwSHXGL1Ws7Ox805vC/view?usp=drive_link '''ДЗ-5''']

[https://drive.google.com/file/d/1ju1fhxXJ7m3frzso8E8CLnjKzxUDSi0a/view?usp=drive_link '''ДЗ-6''']

[https://drive.google.com/file/d/1QLkrbbzM0HrjSg7_59GodnR2nEZDq7k5/view?usp=drive_link '''ДЗ-7''']

[https://drive.google.com/file/d/188TfXKNZxx0IxfFI2Ytj_SFgfmTpp5QT/view?usp=drive_link '''ДЗ-8''']

[https://drive.google.com/file/d/1VsRw5d6N09MhA4RT9tlkzJNczNkx7wXT/view?usp=drive_link '''ДЗ-9''']

= Контрольная работа =

Дата-время: 10 июня, 16:40, продолжительность — 2 часа

[https://docs.google.com/document/d/106TNWHARU4Kzwok_jr7MHy6rqYqHiara-L8vXQHcA4w/edit?usp=sharing '''Организационная информация по проведению контрольной''']

Разрешения на контрольной: иметь с собой только ручку и электронное устройство с единственной функцией "калькулятор"

[https://drive.google.com/file/d/1W2NIUWmruu47ptul4d9J6sINRiiHt8A_/view?usp=drive_link '''Условия задач с контрольной''']

'''Темы задач на контрольной работе'''

* Порядки элементов и подгруппы в конечных абелевых группах [60.39, 60.40, 60.42, 60.43, 60.45] ("прямая сумма" = "прямое произведение")
* Алгоритм Евклида и линейное представление НОД в кольце многочленов [25.2, 25.3, 25.7, [https://www.dropbox.com/s/6ugc0adjv4pv0h4/Quotients.pdf?dl=0 ещё задачи]]
* Разложение многочленов на неприводимые множители над полями R, C и Z_p [27.1, 27.2, [https://www.dropbox.com/s/hc5uz9iiiw201hl/Factorization_examples.pdf?dl=0 ещё примеры]]
* Базисы Грёбнера и их приложения [[https://www.dropbox.com/s/ssubw1mqn3hhqor/GB_examples.pdf?dl=0 примеры], задачи 5,8 из листка 10 и задачи 1,2,3 из ДЗ-7]
* Минимальные многочлены и вычисления в конечных расширениях полей [67.3, задачи 4,5 из листка 8, задача 1 из ДЗ-6, задачи 4,5 из листка 11 и задача 1 из ДЗ-8]
* Вычисления в конечных полях [[https://www.dropbox.com/s/y8u27gr9kk5nw6b/FF_examples.pdf?dl=0 примеры]]

Для каждой темы в скобках указаны задачи, рекомендуемые к прорешиванию в качестве тренировки (номера даны по Сборнику задач по алгебре под редакцией А.И. Кострикина).

Также стоит обратить внимание на задачи, предлагавшиеся на аналогичных контрольных прошлых лет.

= Экзамен =

Формат экзамена: устный

Студент вытягивает билет с 4 вопросами из программы (два вопроса по 2 балла и ещё два по 3 балла; все вопросы на доказательства!). На подготовку к ответу даётся 50 минут, после чего происходит разговор с принимающим, по результатам которого выставляется оценка. Знание только определений и формулировок даёт не более 0,5 балла за вопрос и, следовательно, не более 2 баллов в сумме.

[https://drive.google.com/file/d/1ZW_gXTWFhiAnGeF_nJ6QvGbHqZcaV-z5/view?usp=drive_link '''Список вопросов для подготовки к экзамену''']

= Ведомости текущего контроля =

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Cqd8HeuZWtTy3kbggwKLW2WxTgMYq4c4vll9VWBrDTw/edit#gid=816668604 235] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Cqd8HeuZWtTy3kbggwKLW2WxTgMYq4c4vll9VWBrDTw/edit#gid=458782119 236] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Cqd8HeuZWtTy3kbggwKLW2WxTgMYq4c4vll9VWBrDTw/edit#gid=1181982027 237] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Cqd8HeuZWtTy3kbggwKLW2WxTgMYq4c4vll9VWBrDTw/edit#gid=2074432488 238] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Cqd8HeuZWtTy3kbggwKLW2WxTgMYq4c4vll9VWBrDTw/edit#gid=1003272547 239] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Cqd8HeuZWtTy3kbggwKLW2WxTgMYq4c4vll9VWBrDTw/edit#gid=658286564 2310] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Cqd8HeuZWtTy3kbggwKLW2WxTgMYq4c4vll9VWBrDTw/edit#gid=834516625 2311] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Cqd8HeuZWtTy3kbggwKLW2WxTgMYq4c4vll9VWBrDTw/edit#gid=1692194870 2312]
|}

= Литература =

* Э.Б. Винберг. Курс алгебры. М.: Факториал Пресс, 2002.
* А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Основы алгебры. М.: Наука. Физматлит, 1994.
* А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Основные структуры алгебры. М.: Наука. Физматлит, 2000.
* Сборник задач по алгебре под редакцией А.Н. Кострикина. Новое издание. М.: МЦНМО, 2009.
* Р. Лидл, Г. Нидеррайтер. Конечные поля (2 тома). М.: Мир, 1988.
* И.В. Аржанцев. Базисы Грёбнера и системы алгебраических уравнений. М.: МЦНМО, 2003.

Алгебра на ПМИ 2023/2024 (основной поток) - История изменений

imported>Ravdeev: /* Контрольная работа */