imported>Ravdeev: /* Контрольная работа */

2018-06-17T17:47:52Z

Контрольная работа

Новая страница

= Преподаватели и учебные ассистенты =

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! Группа !! БПМИ171 !! БПМИ172 !! БПМИ173 !! БПМИ174 !! БПМИ175 !! БПМИ176 !! БПМИ177 !! БПМИ178
|-
|| Лектор ||colspan="2"| [http://www.hse.ru/staff/arjanstev Иван Владимирович Аржанцев] ||colspan="6"| [http://www.hse.ru/org/persons/112929840 Роман Сергеевич Авдеев]
|-
|| Семинарист || [http://www.hse.ru/staff/arjanstev Иван Владимирович Аржанцев] || [http://www.hse.ru/org/persons/63679989 Сергей Александрович Гайфуллин] ||colspan="2"| [http://www.hse.ru/org/persons/112929840 Роман Сергеевич Авдеев] || [https://www.hse.ru/org/persons/63680045 Полина Юрьевна Котенкова] || [http://www.hse.ru/org/persons/63679989 Сергей Александрович Гайфуллин] || [https://www.hse.ru/org/persons/63680045 Полина Юрьевна Котенкова] || [https://www.hse.ru/org/persons/161646591 Станислав Николаевич Федотов]
|-
|| Ассистент || Елена Денисова || Дарина Мадуар || Даяна Мухаметшина || Наталия Бабина || Андрей Ткачёв || Елизавета Лысова || Даниил Рязановский || Денис Ракитин
|}

= Расписание консультаций =

{| class="wikitable"
|-
! !! Преподаватель/ассистент !! понедельник !! вторник !! среда !! четверг !! пятница
|-
| <center>1</center> || Иван Владимирович Аржанцев || || 17:00–18:30, каб. 603 || || ||
|-
| <center>2</center> || Роман Сергеевич Авдеев || 15:40–17:40, ауд. 623 || || || 15:40–17:40, ауд. 623 ||
|-
| <center>3</center> || Полина Юрьевна Котенкова || || || || ||
|-
| <center>4</center> || Сергей Александрович Гайфуллин || || || || ||
|-
| <center>5</center> || Станислав Николаевич Федотов || || || || ||
|-
| <center>6</center> || Елена Денисова || 13:40–15:00, ауд. 511 || || || ||
|-
| <center>7</center> || Дарина Мадуар || || 13:40–15:00, ауд. 311 || || ||
|-
| <center>8</center> || Даяна Мухаметшина ||9:40– 10:20 ауд. 313 || || ||15:10 – 17:00 ауд. 219||
|-
| <center>9</center> || Наталия Бабина || || || || 16:40–18:00, ауд. 308 ||
|-
| <center>10</center> || Андрей Ткачёв || || || 12:10–13:30, ауд. 304 || ||
|-
| <center>11</center> || Елизавета Лысова || || || || 16:40–18:00, ауд. 313 ||
|-
| <center>12</center> || Даниил Рязановский || || || C 12:10, комната 308 || ||
|-
| <center>13</center> || Денис Ракитин || || || || 16:40–18:00, ауд. 219 ||
|}

= Порядок формирования оценок =

Накопленная оценка вычисляется по следующей формуле:

Oнакопленная = 0,6 * Oдз + 0,4 * Oк/р,

где Oдз1 — оценка за домашние задания, Oк/р — оценка за контрольную работу.

Итоговая оценка выражается через накопленную и оценку за экзамен следующим образом:

Oитоговая = 0,5 * Oнакопленная + 0,5 * Оэкз.

Округление производится только для итоговой оценки. Способ округления — арифметический.

= Информация для пилотного потока =

== Краткое содержание лекций ==

В этом разделе выложены конспекты всех лекций курса. Содержание этих конспектов может незначительно отличаться от материала, фактически прочитанного на лекциях.

[https://www.dropbox.com/s/f3x44zc5gu2brf9/Algebra_Lecture_01.pdf?dl=0 '''Лекция 1'''] (6.04.2018). Полугруппы и группы: основные определения и примеры. Группы подстановок и группы матриц. Подгруппы. Порядок элемента и циклические подгруппы. Смежные классы и индекс подгруппы. Теорема Лагранжа и её следствия.

[https://www.dropbox.com/s/oqsrjiz127ylg5p/Algebra_Lecture_02.pdf?dl=0 '''Лекция 2'''] (13.04.2018). Нормальные подгруппы. Факторгруппы и теорема о гомоморфизме. Центр группы. Прямое произведение групп. Факторизация по сомножителям. Разложение конечной циклической группы.

[https://www.dropbox.com/s/hye68pu2zlotciu/Algebra_Lecture_03.pdf?dl=0 '''Лекция 3'''] (20.04.2018). Конечно порождённые и свободные абелевы группы. Подгруппы свободных абелевых групп. Теорема о согласованных базисах. Алгоритм приведения целочисленной матрицы к диагональному виду.

[https://www.dropbox.com/s/xd4eoh5in05v414/Algebra_Lecture_04.pdf?dl=0 '''Лекция 4'''] (27.04.2018). Строение конечно порождённых абелевых групп. Конечные абелевы группы. Экспонента конечной абелевой группы. Криптография с открытым ключом. Задача дискретного логарифмирования. Система Диффи–Хеллмана обмена ключами. Криптосистема Эль–Гамаля.

[https://www.dropbox.com/s/n70miccillrj2w3/Algebra_Lecture_05.pdf?dl=0 '''Лекция 5'''] (11.05.2018). Действие группы на множестве. Орбиты и стабилизаторы. Транзитивные и свободные действия. Три действия группы на себе. Классы сопряжённости. Теорема Кэли.

[https://www.dropbox.com/s/sw88n6ynsms7262/Algebra_Lecture_06.pdf?dl=0 '''Лекция 6'''] (18.05.2018). Кольца. Делители нуля, обратимые элементы, нильпотенты и идемпотенты. Поля и алгебры. Идеалы и факторкольца. Теорема о гомоморфизме. Центр алгебры матриц над полем. Простота алгебры матриц над полем.

[https://www.dropbox.com/s/95hgcbugpfgtyke/Algebra_Lecture_07.pdf?dl=0 '''Лекция 7'''] (25.05.2018). Элементарные симметрические многочлены. Основная теорема о симметрических многочленах. Лексикографический порядок. Теорема Виета. Дискриминант многочлена.

[https://www.dropbox.com/s/ao4vs6f7kwel16s/Algebra_Lecture_08.pdf?dl=0 '''Лекция 8'''] (1.06.2018). Примеры полей. Характеристика поля. Расширения полей, алгебраические и трансцендентные элементы. Минимальный многочлен. Конечное расширение и его степень. Присоединение корня многочлена. Поле разложения многочлена: существование и единственность.

[https://www.dropbox.com/s/k218v8oqku8dwc4/Algebra_Lecture_09.pdf?dl=0 '''Лекция 9'''] (8.06.2018). Конечные поля. Простое подполе и порядок конечного поля. Автоморфизм Фробениуса. Теорема существования и единственности для конечных полей. Поле из четырёх элементов. Цикличность мультипликативной группы конечного поля. Неприводимые многочлены над конечным полем. Подполя конечного поля.

[https://www.dropbox.com/s/72cyquru1j0cva1/Algebra_Lecture_10.pdf?dl=0 '''Лекция 10'''] (15.06.2018). Основная задача теории кодирования. Расстояние Хэмминга. Коды, исправляющие ошибки. Характеристики кода. Неравенство Синглтона. Совершенные коды. Линейные коды. Вес Хэмминга. Код Хэмминга [7,4,3]_2. Коды Рида–Соломона. Циклические коды и главные идеалы. Алгоритм декодирования по лидеру смежного класса.

== Листки с задачами ==

Листок с задачами к лекции N содержит в себе N-е домашнее задание.

[https://www.dropbox.com/s/a12esygva8n5ufq/Problems01.pdf?dl=0 '''Задачи к лекции 1''']

[https://www.dropbox.com/s/dpuea0bzlteh5kf/Problems02.pdf?dl=0 '''Задачи к лекции 2''']

[https://www.dropbox.com/s/um9p8wsd1nwyvpf/Problems03.pdf?dl=0 '''Задачи к лекции 3''']

[https://www.dropbox.com/s/ri54ifz4rj8zbbg/Problems04.pdf?dl=0 '''Задачи к лекции 4''']

[https://www.dropbox.com/s/3vcjxknt5d2chj3/Problems05.pdf?dl=0 '''Задачи к лекции 5''']

[https://www.dropbox.com/s/wt5hsez54lpa7uo/Problems06.pdf?dl=0 '''Задачи к лекции 6''']

[https://www.dropbox.com/s/xq6egu33qz80i1a/Problems07.pdf?dl=0 '''Задачи к лекции 7''']

[https://www.dropbox.com/s/fda2yyrco63xn67/Problems08.pdf?dl=0 '''Задачи к лекции 8''']

[https://www.dropbox.com/s/lg97ekpclglx40u/Problems09.pdf?dl=0 '''Задачи к лекции 9''']

[https://www.dropbox.com/s/48v6pixthaq01i6/Problems10.pdf?dl=0 '''Задачи к лекции 10''']

== Контрольная работа ==

Дата-время-место: 15 июня, 15:10, аудитория 509

[https://www.dropbox.com/s/4vo5v2fbw3t20o2/Control_Work_Algebra.pdf?dl=0 '''Условия задач с контрольной''']

== Экзамен ==

Формат экзамена: устный, по билетам (в каждом по два вопроса из программы)

[https://www.dropbox.com/s/ehsbhua4dtdcvc7/Programme.pdf?dl=0 '''Список вопросов к экзамену''']

= Информация для основного потока =

== Краткое содержание лекций ==

'''Лекция 1''' (2.04.2018). Бинарные операции. Полугруппы, моноиды, группы, коммутативные (абелевы) группы. Порядок группы. Примеры групп. Подгруппы. Описание всех подгрупп в группе целых чисел по сложению. Циклические подгруппы. Порядок элемента группы. Связь между порядком элемента и порядком порождаемой им циклической подгруппы. Циклические группы. Левые смежные классы группы по подгруппе, разбиение группы на левые смежные классы.

'''Лекция 2''' (9.04.2018). Индекс подгруппы, теорема Лагранжа и пять следствий из неё. Нормальные подгруппы. Факторгруппа группы по нормальной подгруппе. Гомоморфизмы групп, простейшие свойства. Изоморфизм групп, изоморфные группы. Ядро и образ гомоморфизма групп. Теорема о гомоморфизме для групп.

'''Лекция 3''' (16.04.2018). Классификация циклических групп с точностью до изоморфизма. Прямое произведение групп и разложение группы в прямое произведение подгрупп. Разложение конечной циклической группы. Примарные абелевы группы. Теорема о разложении конечной абелевой группы в прямое произведение примарных циклических групп, доказательство единственности числа и порядков примарных циклических множителей. Экспонента конечной абелевой группы, критерий цикличности. Криптография с открытым ключом. Задача дискретного логарифмирования. Система Диффи–Хеллмана обмена ключами. Криптосистема Эль–Гамаля.

'''Лекция 4''' (23.04.2018). Понятие кольца, примеры. Коммутативные кольца. Обратимые элементы, делители нуля, нильпотенты. Поля. Критерий того, что кольцо вычетов является полем. Алгебры над полем, размерность алгебры. Подкольца, подполя, подалгебры, гомоморфизмы, изоморфизмы. Идеалы в кольце. Главные идеалы и идеалы, порождённые подмножеством коммутативного кольца. Факторкольцо кольца по идеалу. Ядро и образ гомоморфизма колец. Теорема о гомоморфизме для колец.

'''Лекция 5''' (27.04.2018). Делимость в коммутативных кольцах без делителей нуля. Ассоциированные элементы. Наибольший общий делитель двух элементов. Кольца главных идеалов. Существование наибольшего общего делителя для двух элементов a и b кольца главных идеалов и его линейная выразимость через a и b. Простые элементы. Факториальные кольца. Факториальность колец главных идеалов. Деление с остатком в кольце многочленов от одной переменной над полем. Теорема о том, что кольцо многочленов от одной переменной над полем является кольцом главных идеалов. Неприводимые многочлены.

'''Лекция 6''' (14.05.2018). Лексикографический порядок на одночленах от нескольких переменных. Старший член ненулевого многочлена. Лемма о конечности убывающих цепочек одночленов. Элементарная редукция многочлена относительно ненулевого многочлена. Нередуцируемые многочлены. Лемма о конечности цепочек элементарных редукций. Остаток многочлена относительно заданной системы многочленов. Системы Грёбнера. Характеризация систем Грёбнера в терминах цепочек элементарных редукций. S-многочлены. Критерий Бухбергера.

'''Лекция 7''' (21.05.2018). Завершение доказательства критерия Бухбергера. Базис Грёбнера идеала, теорема о трёх эквивалентных условиях. Решение задачи вхождения многочлена в идеал. Лемма о конечности цепочек одночленов, в которых каждый следующий одночлен не делится ни на один из предыдущих. Лемма Диксона. Теорема о существовании конечного базиса Грёбнера. Теорема Гильберта о базисе идеала. Алгоритм Бухбергера построения базиса Грёбнера идеала.

[https://www.dropbox.com/s/hw2snokzledjyj0/GB.pdf?dl=0 '''Конспект лекций 6 и 7''']

'''Лекция 8''' (28.05.2018). Поля. Характеристика поля. Простое подполе. Расширение полей, его степень. Степень композиции двух расширений. Критерий того, что факторкольцо K[x]/(h) является полем. Свойства поля K[x]/(h), где h — неприводимый многочлен. Существование конечного расширения исходного поля, в котором заданный многочлен имеет корень. Поле разложения многочлена. Алгебраические и трансцендентные элементы. Минимальный многочлен алгебраического элемента и его свойства.

'''Лекция 9''' (4.06.2018). Поле, порождённое алгебраическим элементом. Конечные поля. Порядок конечного поля. Автоморфизм Фробениуса. Существование и единственность конечного поля, порядок которого — степень простого числа. Поле из четырёх элементов. Цикличность мультипликативной группы конечного поля. Неприводимые многочлены над полем вычетов. Описание подполей конечного поля.

'''Лекция 10''' (11.06.2018). Коды над конечным алфавитом. Расстояние Хэмминга. Коды, исправляющие t ошибок. Минимальное расстояние кода. Теорема о связи минимального расстояния кода с числом ошибок, которые он может исправлять. Линейные коды. Проверочная матрица. Связь минимального расстояния линейного кода с его проверочной матрицей. Бинарный код Хэмминга, его минимальное расстояние и число ошибок, которые он может исправлять. Коды БЧХ. Теорема о числе ошибок, исправляемых кодом БЧХ. Оценка на размерность кода БЧХ.

== Листки с задачами ==

Листок с задачами к лекции N содержит в себе N-е домашнее задание.

[https://www.dropbox.com/s/dr3duc9wibqm2s8/A_17-18_Stream2_Problems01.pdf?dl=0 '''Задачи к лекции 1''']

[https://www.dropbox.com/s/5hf6qwy66vcvyqq/A_17-18_Stream2_Problems02.pdf?dl=0 '''Задачи к лекции 2''']

[https://www.dropbox.com/s/ab79tsy2l5md3bk/A_17-18_Stream2_Problems03.pdf?dl=0 '''Задачи к лекции 3''']

[https://www.dropbox.com/s/7sj1alh8tbz7k4p/A_17-18_Stream2_Problems04.pdf?dl=0 '''Задачи к лекции 4''']

[https://www.dropbox.com/s/bh8e966w7ed3e0t/A_17-18_Stream2_Problems05.pdf?dl=0 '''Задачи к лекции 5''']

[https://www.dropbox.com/s/qe6ttj8ha9al0c5/A_17-18_Stream2_Problems06.pdf?dl=0 '''Задачи к лекции 6''']

[https://www.dropbox.com/s/jcj25qac6km44fb/A_17-18_Stream2_Problems07.pdf?dl=0 '''Задачи к лекции 7''']

[https://www.dropbox.com/s/swvn0xdh33zpipo/A_17-18_Stream2_Problems08.pdf?dl=0 '''Задачи к лекции 8''']

[https://www.dropbox.com/s/7umn2wxljz274ef/A_17-18_Stream2_Problems09.pdf?dl=0 '''Задачи к лекции 9''']

[https://www.dropbox.com/s/vnu96qkdllcs9tn/A_17-18_Stream2_Problems10.pdf?dl=0 '''Задачи к лекции 10''']

== Контрольная работа ==

Дата-время-место: 13 июня, 15:10, аудитории 622 (группы 174, 175, 177, 178) и 509 (группы 173 и 176)

[https://www.dropbox.com/s/lm84t6kzqm305ug/A_17-18_Stream2_Test.pdf?dl=0 '''Условия задач с контрольной''']

На контрольной можно пользоваться любыми материалами на бумажных носителях. Использование электронных устройств (кроме тех, у которых единственная функция — калькулятор) запрещено.

'''Типы задач на контрольной работе'''

* Порядки элементов и подгруппы в конечных абелевых группах [60.39, 60.40, 60.42, 60.43, 60.45]
* Алгоритм Евклида и линейное представление НОД в кольце многочленов [25.2, 25.3, 25.7]
* Разложение многочленов на неприводимые множители над полями R, C и Z_p [27.1, 27.2, [https://www.dropbox.com/s/hc5uz9iiiw201hl/Factorization_examples.pdf?dl=0 ещё примеры]]
* Базисы Грёбнера и задача вхождения [[https://www.dropbox.com/s/ssubw1mqn3hhqor/GB_examples.pdf?dl=0 примеры]]
* Минимальные многочлены и вычисления в конечных расширениях полей [67.3, 67.13]
* Системы линейных уравнений с коэффициентами в конечном поле [[https://www.dropbox.com/s/6z1utirb5ssx7wb/SLE_FF_examples.pdf?dl=0 примеры]]

Для каждого типа в скобках указаны задачи, рекомендуемые к прорешиванию в качестве тренировки (номера даны по Сборнику задач по алгебре под редакцией А.И. Кострикина).

== Экзамен ==

Формат экзамена: устный

[https://www.dropbox.com/s/89f19fyjnnoh5z0/A_17-18_Stream2_Program.pdf?dl=0 '''Список вопросов к экзамену''']

= Ведомости текущего контроля =

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1UQwAHafWuyV0muEQWSGaCzfMK4RZAXrxq-ruIm59z0s/edit#gid=1196896000 171] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1UQwAHafWuyV0muEQWSGaCzfMK4RZAXrxq-ruIm59z0s/edit#gid=1418802091 172] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1UQwAHafWuyV0muEQWSGaCzfMK4RZAXrxq-ruIm59z0s/edit#gid=1697515667 173] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1UQwAHafWuyV0muEQWSGaCzfMK4RZAXrxq-ruIm59z0s/edit#gid=1370470393 174] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1UQwAHafWuyV0muEQWSGaCzfMK4RZAXrxq-ruIm59z0s/edit#gid=816668604 175] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1UQwAHafWuyV0muEQWSGaCzfMK4RZAXrxq-ruIm59z0s/edit#gid=458782119 176] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1UQwAHafWuyV0muEQWSGaCzfMK4RZAXrxq-ruIm59z0s/edit#gid=1181982027 177] !! [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1UQwAHafWuyV0muEQWSGaCzfMK4RZAXrxq-ruIm59z0s/edit#gid=2074432488 178]
|}

= Литература =

* Э.Б. Винберг. Курс алгебры. М.: Факториал Пресс, 2002.
* А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Основы алгебры. М.: Наука. Физматлит, 1994.
* А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Основные структуры алгебры. М.: Наука. Физматлит, 2000.
* Сборник задач по алгебре под редакцией А.Н. Кострикина. Новое издание. М.: МЦНМО, 2009.

Алгебра на ПМИ 2017/2018 - История изменений

imported>Ravdeev: /* Контрольная работа */