Просмотр кода страницы Основы аналитической теории чисел 2024/25

== О курсе ==

Базовый курс аналитической теории чисел. Будут изложены основы метода тригонометрических сумм. В качестве приложений будут рассмотрены задачи, имеющие как теоретическое, так и прикладное значение. Лектор — [https://www.hse.ru/org/persons/530309935 А. В. Устинов]

=== Предварительная программа ===

# Тригонометрические суммы.
# Распределение квадратичных вычетов.
# Формулы суммирования.
# Распределение дробных долей вещественнозначных функций.
# Метод ван дер Корпута.
# Тригонометрические суммы с рекуррентной функцией.

== Лекции ==

Лекция 1 (27.09.2024) Задача о числе решений квадратичных сравнений. Суммы Гаусса. [К]

Лекция 2 (04.10.2024) Задачи о распределении квадратичных (не) вычетов. Суммы символов Лежандра. Суммы Якобшталя. [J, АР]

Лекция 3 (11.10.2024) Последняя запись из математического дневника Гаусса. [J] Сведение неполной суммы к полной. Асимптотические формулы для числа квадратичных (не)вычетов, не превосходящих данной границы. [К]

Лекция 4 (18.10.2024) Наименьший квадратичный невычет: оценка Виноградова. [Сегал]

Лекция 5 (01.11.2024) Числа и многочлены Бернулли. [ГКП] Символический вывод формулы суммирования Эйлера. [ГКП, Stef] 

Лекция 6 (08.11.2024) Формула суммирования Эйлера. Аналитическое продолжение дзета-функции Римана на всю комплексную плоскость. [ГКП] Формула суммирования Пуассона. Вычисление суммы Гаусса. [Д]

Лекция 7 (15.11.2024) Связь между формулами суммирования Эйлера и Пуассона. Вариант формулы суммирования Пуассона для функций класса Шварца. Функциональное уравнение для тета-функции. [Коб]

Лекция 8 (22.11.2024) Функциональное уравнение для дзета-функции Римана. [Коб] Равномерное распределение последовательностей. [К]

Лекция 9 (29.11.2024) Критерий Вейля равномерного распределения последовательностей. [К]

Лекция 10 (06.12.2024) Лемма ван дер Корпута. Теорема Вейля о равномерном распределении значений многочлена с иррациональным коэффициентом. [К]

== Домашние задания ==

[https://drive.google.com/file/d/15PIYlu1NkrEs3LPV7GZkSREeswwG3GbY/view?usp=sharing ДЗ-1]: Суммы Гаусса, Рамануджана и Клостермана.

[https://drive.google.com/file/d/1DZQqe6blBH6r4PzVXFdKOjzRdX6HGG6i/view?usp=sharing ДЗ-2]: Суммы Шрутки.

[https://drive.google.com/file/d/1vV4t37U9JOrsh4wH14lbHy6guFecL7jd/view?usp=sharing ДЗ-3]: Разные задачи о квадратичных (не)вычетах.

[https://drive.google.com/file/d/1-zA9oNvJ-kCseKzEvVUwUGx4NlngE6vJ/view?usp=sharing ДЗ-4] (творческое и необязательное): Загадочные суммы Уайтмена и Брюера.

[https://drive.google.com/file/d/1nOJULMRbTK9kzRsGxALwx8hHEvAbZ6MV/view?usp=sharing ДЗ-5] Числа и многочлены Бернулли.

[https://drive.google.com/file/d/1LdlfgI-ch4sp_R-a0FkuPXmtkwGv06pj/view?usp=sharing ДЗ-6] Суммирование, периодизация, интерполяция.

[https://drive.google.com/file/d/1hsAC_xHJ0vqtlJxjwFK4wfq-xWNYvxOX/view?usp=sharing ДЗ-7] Формула суммирования Пуассона.

[https://drive.google.com/file/d/1s_hlfibheFGCfSAPsv6WQ4DQEI3og7aV/view?usp=sharing ДЗ-8] Равномерное распределение - 1: элементарные методы.

[https://drive.google.com/file/d/1aqUXLXiEEov4lW7GJ4muWgjY_gsrBXKR/view?usp=sharing ДЗ-9] Равномерное распределение - 2: критерий Вейля.

== Оценка ==

Итог = min(10, Округление(0.5 * ДЗ + 0.25 * Кол + 0.25 * Э)), где ДЗ — средняя оценка за все домашние задания, Кол — оценка за коллоквиум в 1-м модуле, Э — оценка за экзамен. Округление арифметическое.

==Книги==
===Основная литература===

# [К] [https://libgen.st/book/index.php?md5=1428ACA11D5802376E51BC95B5B477E9 Коробов Н. М., Тригонометрические суммы и их приложения, 1989.] 
# [Сегал] [https://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=rm&paperid=7060&option_lang=rus Сегал Б. И., “Тригонометрические суммы и некоторые их применения к теории чисел”, УМН, 1:3-4(13-14) (1946), 147–193.]

===Дополнительная литература===

# [АР] [http://ega-math.narod.ru/Books/Ireland.htm Айерленд К. Роузен, М. Классическое введение в современную теорию чисел. - М.: Мир, 1998.]
# [ГКП] Грэхем Р., Кнут Д. Э., Паташник О. Конкретная математика. - М.: Мир, 1998.
# [Д] [https://libgen.st/book/index.php?md5=C0698FA7EC3785EB2155DB85E128A7DA Дэвенпорт Г. Мультипликативная теория чисел. – М.: Наука, 1971.] 
# [Коб] Коблиц Н. Введение в эллиптические кривые и модулярные формы. - М.: Мир, 1988.
# [J] [https://eudml.org/doc/149263 Jacobsthal E. Über die Darstellung der Primzahlen der Form 4n+1 als Summe zweier Quadrate. - J. Reine Angew. Math., Vol. 132 (1907), 238-246.]
# [Stef] [https://archive.org/details/interpolation0000stef Steffensen J. F. Interpolation. 1950.] Русский перевод: Стефенсен И. Ф. Теория интерполяции. М.-Л. ОНТИ, 1935
# [Step] [https://libgen.st/book/index.php?md5=0393750424F2A06D0CBB5E3697ADD2B0 Степанов С. А. Арифметика алгебраических кривых. Москва, "Наука", 1991.]